Linear System, Linear Equation, Solution Set, Equivalent Systems

출처: Linear Algebra and Its Applications 5e (Lay)

Linear Equation vs Linear System

Linear equation은 equation 하나다. 변수에 제곱이 없고, $ax + by = c$ 형태가 기본이다.

$x + y = 2$

Linear system (= system of linear equations)은 linear equation이 여러 개 묶인 것이다. "이 모든 식을 동시에 만족하는 해를 찾아라"가 linear system을 푼다는 의미다.

$\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 0 \end{cases}$

equation 하나도 technically "system of 1 equation"이라 부를 수 있지만, 보통 system이라 하면 여러 개를 가정한다.

Solution Set

어떤 방정식이나 system을 만족하는 모든 해의 모음이다.

• $x + y = 3$ 하나의 solution set → $(0,3),\ (1,2),\ (1.5, 1.5), \ldots$ 무한히 많음. 기하학적으로는 직선 하나.
• $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$ 의 solution set → $(2, 1)$ 하나. 두 조건을 동시에 만족해야 하므로.

Equivalent Systems

두 system의 solution set이 완전히 같을 때 equivalent하다고 한다.

$\text{System 1의 해집합} = \text{System 2의 해집합}$

중요한 것은 coefficient가 같은지가 아니라, solution set이 같은지다.

예시: $x + y = 2 \quad \text{와} \quad 2x + 2y = 4$

coefficient는 다르지만 solution set이 같으므로 → equivalent.

반대로 $x + y = 2$ 와 $x + y = 3$은 coefficient 형태는 같지만 solution set이 달라서 equivalent가 아니다.

왜 중요한가

gaussian-elimination에서 row operation을 적용할 때마다 system의 형태가 바뀐다. 이 변환이 해를 보존한다는 보장이 바로 "변환 전후 system이 equivalent하다"는 것이다. Lay 교재에서 이 정의가 나오는 맥락이 정확히 여기다.