Row Equivalent & Elementary Row Operations

출처: Linear Algebra and Its Applications 5e (Lay)

Elementary Row Operations

행렬의 행에 적용할 수 있는 세 가지 기본 연산이다.

| 연산 | 설명 | 예시 | |------|------|------| | Swap | 두 행의 위치를 바꾼다 | $R_1 \leftrightarrow R_2$ | | Scale | 한 행 전체에 0이 아닌 상수를 곱한다 | $R_1 \times 3$ | | Replace | 한 행에 다른 행의 배수를 더한다 | $R_2 + 3R_1$ |

Row Equivalent

두 행렬 사이에 elementary row operation의 연속 적용으로 서로 변환할 수 있으면 row equivalent하다고 한다.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - 3R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = B$

$A \to B$로 변환됐으므로 $A$와 $B$는 row equivalent.

"Sequence of operations"라는 점이 중요하다 — 한 번에 안 돼도 여러 번 연달아 적용해서 변환되면 된다.

Row Operations are Reversible (가역적이다)

각 row operation을 되돌리는 역연산이 항상 존재한다.

| 연산 | 역연산 | |------|--------| | $R_1 \leftrightarrow R_2$ | $R_1 \leftrightarrow R_2$ (같은 연산) | | $R_1 \times 3$ | $R_1 \times \frac{1}{3}$ | | $R_2 + 3R_1$ | $R_2 - 3R_1$ |

왜 중요한가

Row equivalent의 정의가 "서로(each other)" 변환 가능이어야 한다. $A \to B$만 되고 $B \to A$가 안 된다면 일방통행이 되어버린다. Reversibility가 보장되기 때문에 row equivalent는 진정한 양방향 관계가 된다.

또한 가역적이라는 건 정보를 잃지 않는다는 뜻이기도 하다. 따라서 linear-system-equation-solution-set|solution set이 보존된다 — row equivalent한 두 행렬이 나타내는 system은 항상 linear-system-equation-solution-set|equivalent system이다.

가역(reversible = invertible)이라는 개념은 나중에 역행렬(invertible matrix)과 가역 변환에서도 반복된다.